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a sleeping baby 中的 sleeping 是現在分詞, 用來修飾後面的名詞 baby, 表示正在睡覺中. 他是由 a baby which is sleeping 變化而來的.
所以 a sleeping baby 是一個正在睡覺中的嬰兒.

a sleep baby 中 sleep 和baby 都是名詞, 前面的名詞sleep當成形容詞用, 修飾後面的名詞. 這是一個複合名詞, 保留前後兩個名詞的意義, 成為一個新的名詞: sleep baby.
所以a sleep baby 是一個睡覺的嬰兒. 但是這樣的中文不是習慣用法, 所以如果你要翻譯最好還是寫睡著的嬰兒.

a sleep baby 和 a sleeping baby 最大的不同是 後者a sleeping baby描述的是一個進行中的動作: 正在睡覺中; 而前者a sleep baby只是描述它的狀態.

另外:
sleep 也可當成動詞用, 比如 How to sleep a baby? 怎麼將嬰兒弄睡?

★備註★
a sleeping baby 的 sleeping 並不是動名詞, 不要混淆了.
a sleep baby 的 sleep 也不是動詞.